6  2수준 요인배치법 - 교락법

6.1 교과서 예제 8.2

반복이 없는 \(2^4\) 요인배치법에서 16회의 실험을 동일한 환경에서 실시할 수 없어서 상호작용효과 \(ACD\) 와 \(BCD\) 를 블럭과 교락시켜서 실험하였다 (교과서 예제 8.2, 230 페이지)

6.1.1 실험자료의 생성

먼저 16개의 실험 처리 조합을 표준 순서로서 생성하자. default.level=c(0,1) 은 요인의 수준을 0과 1로 표시하는 옵션이다.

X <- FrF2(nruns=16, nfactors=4, randomize = FALSE,  default.level=c(0,1))
X

   A B C D
1  0 0 0 0
2  1 0 0 0
3  0 1 0 0
4  1 1 0 0
5  0 0 1 0
6  1 0 1 0
7  0 1 1 0
8  1 1 1 0
9  0 0 0 1
10 1 0 0 1
11 0 1 0 1
12 1 1 0 1
13 0 0 1 1
14 1 0 1 1
15 0 1 1 1
16 1 1 1 1
class=design, type= full factorial 

실험의 표준 순서는 다음과 같이 yates() 함수를 이용하여 알 수 있다.

yates(rep(0,16))

   A    B   AB    C   AC   BC  ABC    D   AD   BD  ABD   CD  ACD  BCD ABCD 
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0 
attr(,"mean")
  
0 

그리고 처리의 표준 순서로 실험값과 블럭변수를 입력한다. 그리고 처리조합 정보 X 와 결합하여 최종 자료인 df 를 만들자.

예제 8.2 자료

y <- c(45,71, 48, 65, 68, 60, 80, 65, 43, 100, 45, 104, 75, 86, 70, 96 )
block <- factor(c(1, 3, 2, 4, 4, 2, 3, 1, 4, 2, 3, 1, 1, 3, 2, 4))
treat <- c("0", names(yates(rep(0,16))))
df0 <- data.frame(block=block, treat=treat,  y=y )
df <- cbind(X, df0)

df %>%  kbl() %>%   kable_paper("hover", full_width = F)

A	B	C	D	block	treat	y
0	0	0	0	1	0	45
1	0	0	0	3	A	71
0	1	0	0	2	B	48
1	1	0	0	4	AB	65
0	0	1	0	4	C	68
1	0	1	0	2	AC	60
0	1	1	0	3	BC	80
1	1	1	0	1	ABC	65
0	0	0	1	4	D	43
1	0	0	1	2	AD	100
0	1	0	1	3	BD	45
1	1	0	1	1	ABD	104
0	0	1	1	1	CD	75
1	0	1	1	3	ACD	86
0	1	1	1	2	BCD	70
1	1	1	1	4	ABCD	96

위의 실험 자료를 블럭과 처리 순으로 정렬해 보자.

df %>% arrange( block, treat)

   A B C D block treat   y
1  0 0 0 0     1     0  45
2  1 1 1 0     1   ABC  65
3  1 1 0 1     1   ABD 104
4  0 0 1 1     1    CD  75
5  1 0 1 0     2    AC  60
6  1 0 0 1     2    AD 100
7  0 1 0 0     2     B  48
8  0 1 1 1     2   BCD  70
9  1 0 0 0     3     A  71
10 1 0 1 1     3   ACD  86
11 0 1 1 0     3    BC  80
12 0 1 0 1     3    BD  45
13 1 1 0 0     4    AB  65
14 1 1 1 1     4  ABCD  96
15 0 0 1 0     4     C  68
16 0 0 0 1     4     D  43

6.1.2 선형표현식

이제 위에서 생성된 자료에서 상호작용효과 \(ACD\) 와 \(BCD\) 가 블록과 교락되어 있는지 선형표현식을 이용하여 확인해 보자.

\[ \begin{aligned} L_1 & = x_1 + x_3 + x_4 (\text{mod}2) \\ L_2 & = x_2 + x_3 + x_4 (\text{mod}2) \end{aligned} \]

예를 들어 블럭 1 (\(L_1=0, L_2=0\)) 에 베치된 처리에 대하여 선형식의 값을 구해보자.

블럭	처리	\(L_1 (ACD)\)	\(L_2 (BCD)\)
1	\((0)\)	\(\texttt{MOD} (0+0+0, 2) = 0\)	\(\texttt{MOD} (0+0+0, 2) = 0\)
1	\(ABC\)	\(\texttt{MOD} (1+1+0, 2) = 0\)	\(\texttt{MOD} (1+1+0, 2) = 0\)
1	\(ABD\)	\(\texttt{MOD} (1+0+1, 2) = 0\)	\(\texttt{MOD} (1+0+1, 2) = 0\)
1	\(CD\)	\(\texttt{MOD} (0+1+1, 2) = 0\)	\(\texttt{MOD} (0+1+1, 2) = 0\)

예를 들어 블럭 2 (\(L_1=0, L_2=1\)) 에 베치된 처리에 대하여 선형식의 값을 구해보자.

블럭	처리	\(L_1 (ACD)\)	\(L_2 (BCD)\)
2	\(AC\)	\(\texttt{MOD} (1+1+0, 2) = 0\)	\(\texttt{MOD} (0+1+0, 2) = 1\)
2	\(AD\)	\(\texttt{MOD} (1+0+1, 2) = 0\)	\(\texttt{MOD} (0+0+1, 2) = 1\)
2	\(B\)	\(\texttt{MOD} (0+0+0, 2) = 0\)	\(\texttt{MOD} (1+0+0, 2) = 1\)
2	\(BCD\)	\(\texttt{MOD} (0+1+1, 2) = 0\)	\(\texttt{MOD} (1+1+1, 2) = 1\)

이렇게 모든 처리에 대하여 구한 선형식의 값은 다음과 같이 함수 conf.design() 로 구할 수 있다. 아래 주어진 블럭배치의 결과는 자료 df 에서 처리들이 블럭에 배치된 것과 일치함을 확인할 수 있다.

먼저 상호작용효과 \(ACD\) 와 \(BCD\) 가 블록과 교락되도록 정의할 수 있는 행렬을 만들어 보자. 아래 0 과 1 로 구성된 \(4 \times 2\) 행렬을 보면, 먼저 4개의 인자를 나타내는 4개의 열로 구성되어 있으며 각 행은 블록과 교락된 상호작용효과에 해당되는 요인을 1로 표시한 것이다. 따라서 첫 행은 \(ACD\) 에 해당되는 요인들을 1로 표시하고 나머지 행은 \(BCD\) 에 해당되는 요인들을 1로 표시한 것이다.

A	B	C	D
1	0	1	1
0	1	1	1

Def.contrast <-   matrix(c(1,0,1,1, 0,1,1,1), 2,4, byrow=TRUE)
Def.contrast

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    0    1    1
[2,]    0    1    1    1

다음으로 위에서 정의한 행렬을 이용하여 상호작용효과 \(ACD\) 와 \(BCD\) 가 블록과 교락되도록 실험을 설계해 보자. 아래 함수 conf.design() 를 사용하는 경우 인자들의 역활은 다음과 같다.

• G : 상호작용효과를 정의하는 행렬
• p : 실험의 수준
• block.name : 블럭의 이름
• treatment.names : 처리의 이름

df2 <- conf.design(G=Def.contrast , p=2, block.name = "블럭", treatment.names=c("A", "B", "C", "D"))
df2

   블럭 A B C D
1    00 0 0 0 0
2    00 1 1 1 0
3    00 1 1 0 1
4    00 0 0 1 1
5    01 0 1 0 0
6    01 1 0 1 0
7    01 1 0 0 1
8    01 0 1 1 1
9    10 1 0 0 0
10   10 0 1 1 0
11   10 0 1 0 1
12   10 1 0 1 1
13   11 1 1 0 0
14   11 0 0 1 0
15   11 0 0 0 1
16   11 1 1 1 1

아래 함수 conf.design() 의 결과 df2 는 앞에서 만든 실험자료 df 와 처리와 블럭의배정이 일치하는 것을 확인할 수 있다.

6.1.3 결합요인

상호작용효과 \(ACD\) 와 \(BCD\) 가 블록과 교락되어 있을 경우 발생하는 결합요인은 \(AB\) 이다. 따라서 상호작용효과 \(AD\) 도 블록 효과와 교락된다.

\[ ACD \times BCD = ABC^2 D^2= AB \]

6.1.4 Yates 계산법

이제 자료 df 에 함수 yates() 를 다음과 같이 적용하여 각 효과의 추정치(effect)를 게산해 보자. 참고로 attr(a, "mean") 는 Yates 추정치가 저장된 a 에서 반응값의 전체 평균 \(\bar y_{....}\) 을 구하는 함수이다.

a <- yates(df$y, c("A", "B", "C", "D"))
a

      A       B      AB       C      AC      BC     ABC       D      AD      BD 
 21.625   3.125   0.125   9.875 -18.125   2.375   1.875  14.625  16.625  -0.375 
    ABD      CD     ACD     BCD    ABCD 
  4.125  -1.125  -1.625  -2.625   1.375 
attr(,"mean")
        
70.0625 

attr(a, "mean")

        
70.0625 

이제 위의 결과를 이용하여 교과서 표 8.4 와 동일한 Yates 계산의 결과를 구해보자.

yates_effect <- data.frame(treat = names(a), effect= a)
yates_effect

     treat  effect
A        A  21.625
B        B   3.125
AB      AB   0.125
C        C   9.875
AC      AC -18.125
BC      BC   2.375
ABC    ABC   1.875
D        D  14.625
AD      AD  16.625
BD      BD  -0.375
ABD    ABD   4.125
CD      CD  -1.125
ACD    ACD  -1.625
BCD    BCD  -2.625
ABCD  ABCD   1.375

totalmean <-  data.frame(treat="(0)", effect = attr(a, "mean"))
totalmean 

  treat  effect
1   (0) 70.0625

yates_effect <- rbind(totalmean, yates_effect)
yates_effect

     treat   effect
1      (0)  70.0625
A        A  21.6250
B        B   3.1250
AB      AB   0.1250
C        C   9.8750
AC      AC -18.1250
BC      BC   2.3750
ABC    ABC   1.8750
D        D  14.6250
AD      AD  16.6250
BD      BD  -0.3750
ABD    ABD   4.1250
CD      CD  -1.1250
ACD    ACD  -1.6250
BCD    BCD  -2.6250
ABCD  ABCD   1.3750

위에서 구한 데이터프레임의 effect 는 평균 효과를 의미한다. 예를 들어서 처리 \(A\) 에 대한 효과는 다음과 같이 구한다.

\[ \begin{aligned} A & = \frac{1}{8} (a + ab + ac + abc + ad + abd + acd + abcd - (0) - b -c -bc -d - bd - cd -bcd) \\ & =\frac{1}{8} (T_{1...} - T_{0...}) \\ & = \bar {y}_{1...} - \bar {y}_{0...} \\ & = 21.625 \end{aligned} \]

따라서 제곱합을 구하는 방법은 처리합의 차를 제곱한 값 \((T_{1...} - T_{0...})^2\) 을 총 실험의 크기 \(n=16\) 으로 나눈다. 이는 평균처리 효과를 제곱한 값에 4를 곱해주는 양과 같다.

\[ SS_A = \frac{(T_{1...} - T_{0...})^2}{16} = 4 (\bar {y}_{1...} - \bar {y}_{0...})^2 \]

이제 위에서 구한 평균 처리 효과를 이용하여 제곱합을 구해보자. 주의할 점은 평균 처리 효과가 저장된 yates_effect 의 첫 행은 전체평균 \(\bar y_{....} = T_{....}/16\) 이 저장되어 있기 때문에 4를 한번 더 곱해주어야 한다.

\[ CT = \frac{T_{....}^2}{16} = 16 (\bar y_{....})^2\]

yates_effect$SS <- 4*yates_effect$effect^2
yates_effect$SS[1] <- yates_effect$SS[1] *4
yates_effect

     treat   effect         SS
1      (0)  70.0625 78540.0625
A        A  21.6250  1870.5625
B        B   3.1250    39.0625
AB      AB   0.1250     0.0625
C        C   9.8750   390.0625
AC      AC -18.1250  1314.0625
BC      BC   2.3750    22.5625
ABC    ABC   1.8750    14.0625
D        D  14.6250   855.5625
AD      AD  16.6250  1105.5625
BD      BD  -0.3750     0.5625
ABD    ABD   4.1250    68.0625
CD      CD  -1.1250     5.0625
ACD    ACD  -1.6250    10.5625
BCD    BCD  -2.6250    27.5625
ABCD  ABCD   1.3750     7.5625

예제 8.2 Yates 계산

6.1.5 블럭변동

자료에서 블럭의 변동을 구하는 방법은 교과서 231 에 나온 것처럼 각 블럭에 대한 관측값의 합을 구해서 변동의 공식을 이용할 수 있다. 각 블럭 안의 관측값들 합을 \(T_i\)라고 하면

\[ SS_{block} = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 T^2_i - CT \quad \text{where } CT=\frac {T^2}{(4)(4)} \]

예제 8.2 블럭 제곱합

또한 다음과 같은 선형식을 R 록 적합식키고 분산분석을 이용하여 블럭의 변동(\(SS_{block}\))을 구할 수 있다. 아래 함수
anova() 결과에 의하면 \(SS_{block} = 38.19\) 이다.

\[ y_{ij} = \mu + \text{(block)}_i + e_{ij} \]

res_block <- lm(y~block, data=df)
anova(res_block)

Analysis of Variance Table

Response: y
          Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
block      3   38.2   12.73  0.0268 0.9937
Residuals 12 5692.8  474.40               

블럭의 변동은 상호작용 효과 \(ACD\), \(BCD\), \(AB\) 에 대한 제곱합들의 합과 같다.

\[ SS_{block} = SS_{ACD} + SS_{BCD} + SS_{AB} = 10.5625 + 27.5625 +0.0625 = 38.19 \]

yates_effect %>% filter(treat == "ACD" | treat == "BCD" | treat == "AB")

    treat effect      SS
AB     AB  0.125  0.0625
ACD   ACD -1.625 10.5625
BCD   BCD -2.625 27.5625

6.1.6 핵심요인의 선별

핵심요인의 선별하기 위하여 먼저 각 처리의 제곱합을 순서대로 나열해 보자. 주요인 \(A\), \(C\), \(D\) 와 상호작용 효과 \(AC\) 와 \(AD\)의 제곱합이 다른 것보다 크게 나타나는 것을 볼 수 있다.

yates_effect %>%  arrange(desc(SS))

     treat   effect         SS
1      (0)  70.0625 78540.0625
A        A  21.6250  1870.5625
AC      AC -18.1250  1314.0625
AD      AD  16.6250  1105.5625
D        D  14.6250   855.5625
C        C   9.8750   390.0625
ABD    ABD   4.1250    68.0625
B        B   3.1250    39.0625
BCD    BCD  -2.6250    27.5625
BC      BC   2.3750    22.5625
ABC    ABC   1.8750    14.0625
ACD    ACD  -1.6250    10.5625
ABCD  ABCD   1.3750     7.5625
CD      CD  -1.1250     5.0625
BD      BD  -0.3750     0.5625
AB      AB   0.1250     0.0625

이제 모든 효과가 포함된 완전모형(full model)을 적합시키고 반정규확률 그림을 그려서 핵심효인을 다시 찾아보자. 제곱합을 비교할 때와 같이 주요인 \(A\), \(C\), \(D\) 와 상호작용 효과 \(AC\) 와 \(AD\)이 핵심 요인으로 보여진다.

fullmodel <- lm (y~ A*B*C*D, data=df) 
DanielPlot(fullmodel, half=TRUE)

6.1.7 최종 모형

위의 핵심요인의 선별 결과를 고려하여 주요인 \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) 와 상호작용 효과 \(AC\) 와 \(AD\) 를 포함하는 축소된 모형을 최종모형으로 적합해 보자. 축소모형에는 당연히 블럭효과도 포함해야 한다. 또한 오차항에는 블럭과 교럭돤 상호작용 효과들과 축소모형에 포함된 효과들을 제외한 다른 효과들이 풀링된다.

\[ SS_E = SS_{B \times C} + SS_{B \times D} + SS_{C \times D} + SS_{A \times B \times C} + SS_{A \times B \times D } + SS_{A \times B \times C \times D}\]

finalmodel <- lm(y ~ block + A +B + C+ D + A:C + A:D, data=df)
anova(finalmodel)

Analysis of Variance Table

Response: y
          Df  Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
block      3   38.19   12.73  0.6479 0.6123498    
A          1 1870.56 1870.56 95.2142  6.66e-05 ***
B          1   39.06   39.06  1.9883 0.2081893    
C          1  390.06  390.06 19.8547 0.0043020 ** 
D          1  855.56  855.56 43.5493 0.0005821 ***
A:C        1 1314.06 1314.06 66.8876 0.0001800 ***
A:D        1 1105.56 1105.56 56.2747 0.0002902 ***
Residuals  6  117.88   19.65                      
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

6.2 상호작용 그림

with(df, interaction.plot(x.factor = A, trace.factor = C,  response = y))

with(df, interaction.plot(x.factor = A, trace.factor = D,  response = y))

6.3 8장 연습문제

다음은 8장의 연습문제를 풀 때 도음이 되는 R 프로그램이다.

6.3.1 연습문제 1

X1 <- FrF2(nruns=16, nfactors=4, randomize = FALSE,  default.level=c(0,1))
X1

   A B C D
1  0 0 0 0
2  1 0 0 0
3  0 1 0 0
4  1 1 0 0
5  0 0 1 0
6  1 0 1 0
7  0 1 1 0
8  1 1 1 0
9  0 0 0 1
10 1 0 0 1
11 0 1 0 1
12 1 1 0 1
13 0 0 1 1
14 1 0 1 1
15 0 1 1 1
16 1 1 1 1
class=design, type= full factorial 

yates(rep(0,16))

   A    B   AB    C   AC   BC  ABC    D   AD   BD  ABD   CD  ACD  BCD ABCD 
   0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0    0 
attr(,"mean")
  
0 

Def.contrast1 <- c(1,1,1,1)
conf.design(G=Def.contrast1 , p=2, block.name = "블럭", treatment.names=c("A", "B", "C", "D"))

   블럭 A B C D
1     0 0 0 0 0
2     0 1 1 0 0
3     0 1 0 1 0
4     0 0 1 1 0
5     0 1 0 0 1
6     0 0 1 0 1
7     0 0 0 1 1
8     0 1 1 1 1
9     1 1 0 0 0
10    1 0 1 0 0
11    1 0 0 1 0
12    1 1 1 1 0
13    1 0 0 0 1
14    1 1 1 0 1
15    1 1 0 1 1
16    1 0 1 1 1

6.3.2 연습문제 4

X2 <- FrF2(nruns=8, nfactors=3, randomize = FALSE,  default.level=c(0,1))
X2

  A B C
1 0 0 0
2 1 0 0
3 0 1 0
4 1 1 0
5 0 0 1
6 1 0 1
7 0 1 1
8 1 1 1
class=design, type= full factorial 

yates(rep(0,8))

  A   B  AB   C  AC  BC ABC 
  0   0   0   0   0   0   0 
attr(,"mean")
  
0 

Def.contrast2 <- c(1,1,1)
conf.design(G=Def.contrast2 , p=2, block.name = "블럭", treatment.names=c("A", "B", "C"))

  블럭 A B C
1    0 0 0 0
2    0 1 1 0
3    0 1 0 1
4    0 0 1 1
5    1 1 0 0
6    1 0 1 0
7    1 0 0 1
8    1 1 1 1

6.3.3 연습문제 10

X3 <- FrF2(nruns=64, nfactors=6, randomize = FALSE,  default.level=c(0,1))
X3

   A B C D E F
1  0 0 0 0 0 0
2  1 0 0 0 0 0
3  0 1 0 0 0 0
4  1 1 0 0 0 0
5  0 0 1 0 0 0
6  1 0 1 0 0 0
7  0 1 1 0 0 0
8  1 1 1 0 0 0
9  0 0 0 1 0 0
10 1 0 0 1 0 0
11 0 1 0 1 0 0
12 1 1 0 1 0 0
13 0 0 1 1 0 0
14 1 0 1 1 0 0
15 0 1 1 1 0 0
16 1 1 1 1 0 0
17 0 0 0 0 1 0
18 1 0 0 0 1 0
19 0 1 0 0 1 0
20 1 1 0 0 1 0
21 0 0 1 0 1 0
22 1 0 1 0 1 0
23 0 1 1 0 1 0
24 1 1 1 0 1 0
25 0 0 0 1 1 0
26 1 0 0 1 1 0
27 0 1 0 1 1 0
28 1 1 0 1 1 0
29 0 0 1 1 1 0
30 1 0 1 1 1 0
31 0 1 1 1 1 0
32 1 1 1 1 1 0
33 0 0 0 0 0 1
34 1 0 0 0 0 1
35 0 1 0 0 0 1
36 1 1 0 0 0 1
37 0 0 1 0 0 1
38 1 0 1 0 0 1
39 0 1 1 0 0 1
40 1 1 1 0 0 1
41 0 0 0 1 0 1
42 1 0 0 1 0 1
43 0 1 0 1 0 1
44 1 1 0 1 0 1
45 0 0 1 1 0 1
46 1 0 1 1 0 1
47 0 1 1 1 0 1
48 1 1 1 1 0 1
49 0 0 0 0 1 1
50 1 0 0 0 1 1
51 0 1 0 0 1 1
52 1 1 0 0 1 1
53 0 0 1 0 1 1
54 1 0 1 0 1 1
55 0 1 1 0 1 1
56 1 1 1 0 1 1
57 0 0 0 1 1 1
58 1 0 0 1 1 1
59 0 1 0 1 1 1
60 1 1 0 1 1 1
61 0 0 1 1 1 1
62 1 0 1 1 1 1
63 0 1 1 1 1 1
64 1 1 1 1 1 1
class=design, type= full factorial 

yates(rep(0,64))

     A      B     AB      C     AC     BC    ABC      D     AD     BD    ABD 
     0      0      0      0      0      0      0      0      0      0      0 
    CD    ACD    BCD   ABCD      E     AE     BE    ABE     CE    ACE    BCE 
     0      0      0      0      0      0      0      0      0      0      0 
  ABCE     DE    ADE    BDE   ABDE    CDE   ACDE   BCDE  ABCDE      F     AF 
     0      0      0      0      0      0      0      0      0      0      0 
    BF    ABF     CF    ACF    BCF   ABCF     DF    ADF    BDF   ABDF    CDF 
     0      0      0      0      0      0      0      0      0      0      0 
  ACDF   BCDF  ABCDF     EF    AEF    BEF   ABEF    CEF   ACEF   BCEF  ABCEF 
     0      0      0      0      0      0      0      0      0      0      0 
   DEF   ADEF   BDEF  ABDEF   CDEF  ACDEF  BCDEF ABCDEF 
     0      0      0      0      0      0      0      0 
attr(,"mean")
  
0 

Def.contrast3 <-   matrix(c(1,1,1,1,0,0, 1,1,0,0,1,1), 2,6, byrow=TRUE)
conf.design(G=Def.contrast3 , p=2, block.name = "블럭", treatment.names=c("A", "B", "C", "D", "E", "F"))

   블럭 A B C D E F
1    00 0 0 0 0 0 0
2    00 1 1 0 0 0 0
3    00 0 0 1 1 0 0
4    00 1 1 1 1 0 0
5    00 1 0 1 0 1 0
6    00 0 1 1 0 1 0
7    00 1 0 0 1 1 0
8    00 0 1 0 1 1 0
9    00 1 0 1 0 0 1
10   00 0 1 1 0 0 1
11   00 1 0 0 1 0 1
12   00 0 1 0 1 0 1
13   00 0 0 0 0 1 1
14   00 1 1 0 0 1 1
15   00 0 0 1 1 1 1
16   00 1 1 1 1 1 1
17   01 1 0 1 0 0 0
18   01 0 1 1 0 0 0
19   01 1 0 0 1 0 0
20   01 0 1 0 1 0 0
21   01 0 0 0 0 1 0
22   01 1 1 0 0 1 0
23   01 0 0 1 1 1 0
24   01 1 1 1 1 1 0
25   01 0 0 0 0 0 1
26   01 1 1 0 0 0 1
27   01 0 0 1 1 0 1
28   01 1 1 1 1 0 1
29   01 1 0 1 0 1 1
30   01 0 1 1 0 1 1
31   01 1 0 0 1 1 1
32   01 0 1 0 1 1 1
33   10 0 0 1 0 0 0
34   10 1 1 1 0 0 0
35   10 0 0 0 1 0 0
36   10 1 1 0 1 0 0
37   10 1 0 0 0 1 0
38   10 0 1 0 0 1 0
39   10 1 0 1 1 1 0
40   10 0 1 1 1 1 0
41   10 1 0 0 0 0 1
42   10 0 1 0 0 0 1
43   10 1 0 1 1 0 1
44   10 0 1 1 1 0 1
45   10 0 0 1 0 1 1
46   10 1 1 1 0 1 1
47   10 0 0 0 1 1 1
48   10 1 1 0 1 1 1
49   11 1 0 0 0 0 0
50   11 0 1 0 0 0 0
51   11 1 0 1 1 0 0
52   11 0 1 1 1 0 0
53   11 0 0 1 0 1 0
54   11 1 1 1 0 1 0
55   11 0 0 0 1 1 0
56   11 1 1 0 1 1 0
57   11 0 0 1 0 0 1
58   11 1 1 1 0 0 1
59   11 0 0 0 1 0 1
60   11 1 1 0 1 0 1
61   11 1 0 0 0 1 1
62   11 0 1 0 0 1 1
63   11 1 0 1 1 1 1
64   11 0 1 1 1 1 1